Править]Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Предыдущая1234567891011Следующая

Если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: .

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции выглядит следующим образом:

где , а произвольные приращения независимых переменных .
Приращения рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

[править]Неинвариантность дифференциалов высшего порядка

При , -й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, x = φ(t).

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
При n = 2 и :

§ если — независимая переменная, то

§ если и

1.

2. при этом, и

С учётом зависимости , уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Инвариантность формы первого дифференциала

Если x - независимая переменная, то dx = x - x0 (фиксированное приращение). В этом случае имеем

df(x0) = f'(x0)dx. (3)

Если x = φ(t) - дифференцируемая функция, то dx = φ'(t0)dt. Следовательно,

т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.

15. Связь дифференцируемости и непрерывности функции.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

Докажем теорему, устанавливающую связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

Теорема 7.1. Если функция y=f(x) дифференцируема в произвольной точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в произвольной точке x0, т.е. имеет в этой точке производную (x0). Запишем приращение функции ∆y точке x0:

∆y = (x0) ∆ x + ∆ x, где →0 при ∆ x→0 (см. доказательство теоремы 6.1).

Пусть теперь ∆ x→0. Тогда, очевидно, и ∆y→0. Но это и означает, что функция y=f(x) непрерывна в точке x0. Теорема доказана.

Утверждение, обратное этой теореме, неверно: из непрерывности функции в данной точке не вытекает её дифференцируемость в этой точке. Существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не имеющие в этой точке производной. Примером такой функции служит функция

y= =

(см. рис.4).



Эта функция непрерывна в точке x = 0, но не дифференцируема в ней. Действительно, приращение этой функции в точке x = 0 есть

∆y = f(0+∆ x) ─ f(0) = f(∆ x) = ,

= = ,

т.е. в любой сколь угодно малой окрестности значения отношение принимает два различных значения: 1 и ─1. Это означает, что предел не существует, т.е. функция y= не имеет производной в точке x = 0, а, следовательно, график функции не имеет касательной в точке O(0;0) (поскольку угловой коэффициент касательной должен быть равен производной, но производной не существует).

Таблица производных. Гиперболические функции, их свойства и графики. Производные гиперболических и обратных к ним функций.

16. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Их геометрический смысл.

Теорема Ферма

Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на интервале (a, b) и в некоторой точке x0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда f'(x0) = 0.
Доказательство. Пусть для определенности функция f (x) в точке x0 имеет наибольшее значение, т.е. f (x) ≤ f (x0) для любого x Î (a, b). Это значит, что Δ y= f(x0 + Δx) - f(x0) ≤ 0 для любого приращения аргумента Δ x и x0 + Δ x Î (a, b).
Если Δx > 0, имеем

,

если же Δx < 0, то

.

По условию f' (x0) существует и, значит,

.

Это возможно только в случае, когда

.

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что, если в точке x0 дифференцируемая функция f(x) имеет наибольшее или наименьшее значение, то в точке (x0; f (x0)) касательная к графику функции f (x) параллельна оси Ox.
Замечание. Теорема неверна, если функцию f (x) рассматривать на замкнутом отрезке [a, b]. Например, функция f (x) = x на отрезке [0; 1] в точке x = 0 принимает наименьшее, а в точке x = 1 — наибольшее значение, однако, как в той, так и в другой точке производная в нуль не обращается, а равна единице.

Теорема Ролля

Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда существует точка c Î (a, b), в которой f' (c) = 0.
Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a, b],то по свойству непрерывных функций она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m.
Возможны два случая: максимум и минимум достигаются на концах отрезка или что – либо (или максимум, или минимум) попадает вовнутрь интервала. В первом случае f(x) = const = M = m. Поэтому производная равна нулю f ' (c) = 0 в любой точке отрезка [a, b], и теорема доказана.
Во втором случае, так как f(x) дифференцируема в точке c, из теоремы Ферма следует, что f ' (c) = 0.


6629919994924541.html
6629955330088189.html
    PR.RU™